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비틀림에 대하여 양단이 단순지지된 단순보의 지간 중앙에 비틀림모멘트T가 작용하는 경우, 비틀림모멘트 T 는 Fig. 2(a)와 같이 순수비틀림(M_s), Fig. 2(b)와 같이 뒤틀림(M_w)의 합으로 이루어지게 된다^[6].

Fig. 2. 
Portions of Saint-Venant and warping torsional moment under concentrated torsional moment applied at midspan^[6]

순수비틀림(Saint-Venant torsion)의 경우는 단면내에 전단응력만을 일으키며 Rajagopalan(2022)에 따르면 뒤틀림(warping torsion)에 의해서 단면에 발생하는 힘은 상‧하부 플랜지에 작용하는 축방향응력(longitudinal normal stress)으로 인하여 발생하는 상‧하 플랜지에 작용하는 우력모멘트(Bi-moment)가 있다^[7]. 따라서, 비틀림모멘트가 발생할 때 순수비틀림(Saint-venant torsion)과 뒤틀림(warping torsion)의 분배율에 대한 변화상태의 확인이 필요하다. 무도상 철도판형교와 같이 얇은 단면의 부재에는 순수비틀림과 뒤틀림이 공존하게 되며 지점의 구속조건 및 작용하중의 위치 및 형태에 따라 순수비틀림과 뒤틀림의 분배 정도의 차이가 존재하는데 충실도가 큰 단면이나 상자형과 같은 폐단면에서는 순수비틀림이 지배적으로 발생하고 Ⅰ형 단면과 같은 개단면의 박판에서는 뒤틀림의 발생이 크다^[8]. 이러한 2가지의 비틀림모멘트의 분배율은 식 (1)로 표현되는 비틀림상수비(Torsional constant ratio, χ)의 크기에 따라 지배된다^[9].

• 여기서, l : 종방향 지점간의 거리
• 　　　  GJ : 비틀림강성
• 　　　  EI_w : 뒤틀림강성

도로교설계기준^[10] 및 철도설계기준^[11]에서는 비틀림상수비 χ < 0.4일 경우에는 순수비틀림에 의한 응력계산을, χ > 10인 경우에는 뒤틀림에 의한 응력계산을 생략할 수 있다고 규정하고 있다.

Fig. 3는 Kollbrunner and Basler^[9]의 연구에 따른 판형교의 비틀림보강 범위를 나타낸 비틀림모멘트분배율(M_crw/M_cr)-비틀림상수비(χ) 관계곡선이다. 여기서 M_cr은 비틀림모멘트를 나타내며 순수비틀림 모멘트와 뒤틀림 모멘트의 합으로 이루어지며 M_crw은 뒤틀림 모멘트를 의미한다. 얇은 판형교에 뒤틀림이 발생하는 경우에는 판형에 축방향력과 축방향력에 의한 상·하 플랜지에 우력모멘트가 발생하게 된다. 비틀림상수비(χ)값이 χ < 0.5인 순수 뒤틀림 구간(Pure warping torsion)과 0.5 ≤ χ < 2인 뒤틀림이 지배적인 구간(Dominating warping torsion)의 경우는 판형교의 뒤틀림에 따른 횡비틀림좌굴(Lateral torsional buckling, LTB)이 지배적인 구간으로 볼 수 있다. 비틀림상수비(χ)값이 2 ≤ χ < 0.5 인 구간은 순수비틀림과 뒤틀림이 공존하는 구간(Mixed torsion)으로 LTB의 발생 가능성을 고려해야 하는 구간으로 규정하였다. 따라서 부재단면의 비틀림상수비(χ)를 산정하여 χ ≤ 5 인 경우는 비틀림보강이 필요한 범위로 보고 χ > 5인 경우는 부재단면에 단면내의 전단응력만을 일으키는 순수비틀림이 지배적이므로 별도의 단면보강이 필요없는 비틀림에 안정한 단면으로 판단하였다. 여기서 단면보강 여부를 결정하는 비틀림상수비χ가 5일 때 비틀림모멘트분배율은 0.4이다.

Fig. 3. 
Determination of reinforcement range based on torsional constant ratio χ^[9]

본 연구에서 사용된 교량은 하부에 브레이싱이 없는 개단면 형태의 2거더 철도판형교에 하부 수평브레이싱의 보강에 따른 비틀림 거동특성을 비교하기 위해 Park(2019)이 고려한 하부 플랜지 보강형상으로 Fig. 5에 나타나 있다^[3]. 여기서 RF-0은 기존 교량의 현황과 동일한 무보강 2거더 철도판형교를 나타낸 것이며, RF-1은 기존 교량의 상부 수평브레이싱과 동일하게 교량 하부 플랜지에 반대 방향으로 하부 수평브레이싱을 설치하고 수평브레이싱의 접합부에서 거더 사이를 횡부재로 연결한 형상이다. RF-2는 기존 교량의 상부 수평브레이싱과 동일하게 교량 하부 플랜지에 하부 수평브레이싱을 설치하고 반대 방향으로 하부 수평브레이싱을 추가로 설치하여 교차시킨 형상이다. RF-3은 RF-2에 RF-1와 동일하게 하부 수평브레이싱의 접합부에서 거더 사이에 수직부재를 추가한 형상이다. RF-4는 하부 수평브레이싱 대신에 하부의 거더 사이를 평균 4.3 m 간격으로 폭 500 mm, 두께 40 mm의 강판을 4개소 보강한 형상이다^[3].

Fig. 5. 
Types of transverse reinforcement at lower flange of ballastless railway plate girder bridge^[3]

본 연구에서는 무도상 철도판형교의 보강상세에 따른 비틀림 보강 적정성을 평가하고자 한다. 보강형상별로 비틀림상수비(χ) 를 산정하여 지배적인 비틀림 요소의 비율을 파악하기 위해서는 비틀림상수(J)와 뒤틀림상수(I_w)를 산정해야 한다. 기존의 보강되지 않은 2거더 철도판형교의 단면은 하부 수평브레이싱이 없는 RF-0의 개단면으로 개단면에 대한 비틀림 검토를 수행하는 반면, RF-1–4와 같이 2거더 철도 판형교의 하부를 수평브레이싱이나 강판으로 보강한 형상은 보강한 부재를 등가의 얇은 두께(t_eq)를 가지는 판으로 취할 수 있어 교량의 단면을 유사폐합단면으로 가정하여 비틀림 검토를 수행한다^[13].

보강형상 RF-1–RF-4의 형상별 등가두께(t_eq)를 산정하는 공식은 Table 1의 식 (2)–(5)와 같다^[13].

Type	Equivalent plate thickness teq of each reinforcement type
RF-1
		teq=EG⋅s⋅ wd3Ad+23⋅ s3Af	(2)
RF-2
		teq=EG⋅ s⋅ wd32⋅Ad+s312⋅ 1Af+1Af	(3)
RF-3
		teq=EG⋅ s⋅ wd32⋅ Ad+s36⋅ 1Af	(4)
RF-4
		teq=EG⋅ 1s1⋅ w212⋅ Ib+s12⋅ w48⋅ 1If+1If	(5)

식 (2)–(5)를 이용하여 보강형상(RF-1–RF-4)별로 산정된 등가두께(t_eq)는 Table 2와 같다.

비틀림상수비를 산정하기 위해서는 비틀림상수(J) 와 뒤틀림상수(I_w)를 구해야 한다. 각 보강 형태에 따른 등가두께를 적용한 단면은 Fig. 6와 같다. RF-0은 기존의 보강되지 않은 2거더 철도판형교로 개단면의 형태를 띄며, RF-1–4은 기존 교량에서 하부가 보강되어 있어 보강 형상별로 산정된 등가두께(t_eq)가 적용된 유사폐단면이 된다^[13].

Fig. 6. 
Dimensions of the reinforced cross-section

RF-0의 개단면 형상과 RF-1–4의 폐단면 형상에 대한 비틀림상수(J)와 뒤틀림상수(I_w)의 산정은 遠田良喜이 제시한 공식으로 계산할 수 있다^[14]. 개단면인 RF-0의 비틀림상수 J는 식 (6), 뒤틀림상수 I_w는 식 (7)을 이용하여 구할 수 있다.

• 여기서, b : 개별요소(플랜지,웨브)의 폭
• 　　　  t : 개별요소(플랜지,웨브)의 두께

• 여기서, A : 전단면적
• 　　　  I_y : y축에 대한 단면2차모멘트
• 　　　  I_z : z축에 대한 단면2차모멘트
• 　　　  b : 상부 좌‧우 플랜지의 연단거리
• 　　　  d : 단면의 도심에서 상부플랜지의 중심까지의 거리
• 　　　  h : 상부플랜지와 하부플랜지의 중심간 거리
• 　　　  I₂ : 하부플랜지의 단면2차모멘트

RF-1–4의 경우는 등가두께(t_eq)를 가지는 유사폐단면으로 비틀림상수J는 식 (8), 뒤틀림상수 I_w는 식 (9)를 이용하여 산정한다^[14].

• 여기서, A_m : 중공 폐합단면의 둘레 중심선으로 둘러싸인 면적
• 　　　  ds : 중공 폐합단면의 둘레
• 　　　  t : 중공 폐합단면의 두께

식 (10)에서 ϕ계산에 사용된 b, h, t₁, t₂는 Fig. 7과 같다.

Fig. 7. 
Parameters to calculateϕof closed sections^[14]

RF-1–4의 보강형태에 따라 산정된 등가두께(t_eq)를 적용하여 산정된 비틀림상수(J), 뒤틀림상수(I_w) 및 비틀림상수비 χ는 Table 3와 같다. 비틀림상수비 산정시 적용한 종방향 지점간 거리는 12.9 m이다.

검토한 보강형태별 비틀림모멘트분배율-비틀림상수비 관계곡선을 비교한 결과는 Fig. 8과 같다.

Fig. 8. 
Determination of torsional reinforcement based on torsional constant ratio χ of each reinforcement type

무보강인 RF-0의 경우가 비틀림이 작용하는 경우 뒤틀림(warping torsion)을 가장 크게 받는 것으로 확인되었으며 하부구조 보강형상 중 RF-1은 RF-2, RF-3과 같이 순수비틀림구간(Pure Saint-Venant Torsion)에 위치하며 RF-2, RF-3과 유사한 정도로 순수비틀림을 받는 것으로 확인되었다. 한편, 강판보강 형상인 RF-4의 경우는 무보강 형상과 비교하였을 때는 뒤틀림(warping torsion)을 덜 받지만 순수뒤틀림구간(Pure warping torsion)에 위치하고 있어 뒤틀림이 지배적인 거동을 보이는 것으로 확인되었다. RF-0, RF-4형상의 경우는 뒤틀림에 매우 취약한 형상으로 비틀림 보강이 필요한 것으로 판단되며, RF-1–3형상의 경우는 순수비틀림(Saint-Venant torsion)이 지배적으로 발생하여 추가적인 비틀림 보강없이 비틀림에 대한 안정성을 확보한 것으로 확인된다. 여기서 RF-1의 경우는 RF-2 및 RF-3와 유사한 수준의 단면보강 성능을 나타내므로 경제성 및 시공성 측면에서 볼 때 RF-1을 채택하는 것이 타당할 것으로 판단된다.

브레이싱의 간격의 변화에 따른 비틀림 보강의 적정성을 살펴보기 위하여 RF-1보강형상에 대하여 브레이싱의 간격(s)를 당초 1.29 m에서 2.58 m, 4.3 m 및 6.45 m로 변경시키면서 비틀림모멘트분배율-비틀림상수비 관계곡선을 이용하여 보강의 적절성을 검토한 결과는 Fig. 9와 같다. 브레이싱의 간격이 1.29 m, 2.58 m까지는 순수 비틀림 구간 이내의 거동을 보이는 것으로 확인되었으며, 브레이싱의 간격이 4.3 m, 6.45 m인 경우는 순수비틀림이 지배적으로 확인되어 브레이싱의 간격을 6.45 m까지 늘리는 경우에도 비틀림 보강은 적정한 것으로 확인되었다.

Fig. 9. 
Determination of torsional reinforcement of the RF-1 according to changes in the spacing s of the bracing using the torsional constant ratio χ

Fig. 5의 RF-0–RF-4 형상의 중앙에 비틀림하중을 재하하고 각 모델별로 지간의 중앙에서 교축방향의 비틀림 변위를 비교하기 위하여 마이다스 구조해석 프로그램을 이용하여 철도판형교 모델을 Fig. 10과 같이 shell요소로 모델링하였다^[15]. 국가철도공단 KR C-08020^[16]의 KRL-2012표준열차하중에서는 차량횡하중의 크기로 Q = 100 kN을 규정하고 있다. 해석모델에서는 설계하중 크기와 관계없이 비틀림에 대한 보강 효과를 검증하기 위하여 중앙경간의 상·하부에 서로 반대 방향으로 Q = 100 kN을 작용시켜 비틀림하중을 유발한 후 경간 중앙부 상부 플랜지에서 산정된 비틀림각을 비교하여 수평브레이싱의 설치에 따른 비틀림 보강효과를 검증하였다.

Fig. 10. 
Finite element model of the reinforced railway plate girder bridge

보강모델별 비틀림을 비교한 결과는 Table 4와 같다.보강되지 않은 RF-0의 경우는 교축방향으로 상대적으로 과다한 비틀림이 발생하였으며, 강판 보강된 RF-4의 경우는 RF-0보다는 작으나 과다한 비틀림이 발생하는 결과를 보였다. RF-1의 경우는 RF-2 및 RF-3과 유사한 수준의 비틀림을 나타내고 있어 시공성 측면에서 RF-1의 채택은 합리적으로 판단된다.